鸡兔同笼中的数学思

 

摘要：鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

现在要解决这样的问题可以通过很多方法，下面我就通过解决此题来归纳总结遇到这样类型题目的解法，从中发现发散思维在解决数学问题所发挥的作用，培养学生发散思维能力。

关键词 ：举例与列表，取中列表，画图添数，假设。

一、假设举例与列表的方法：根据条件的不同，可以采取逐一举例的方法；或先估计数量的可能范围，以减少举例的次数；或采用取中列举的方法。

（1）逐一举例法

上表格是常规的逐一举例法，根据鸡与兔共35只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有34只，腿共138条；鸡有2只，那么兔就有33只，腿共有136条…以此类推，直到鸡有23只，兔有12只，腿共有94条时，才找到所求答案，即鸡有23只，兔有12只。

（2）先估计可能的范围，再用列表举例。逐一举例，试举的次数较多，为了减少举例的次数，可以先估计鸡与兔数量可能范围，再列表寻找解决问题的结果。如下表：

 

这么多腿？一定是兔子太多了，减少兔子数

还多，兔子数还应减少

比94少了，兔子数应该在10与15之间
   （3）取中列举的方法。由于鸡和兔共有35只，所以取18只鸡，17只兔，接着在列表中根据实际的数据情况确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围。

如上表，假设鸡18只，兔17只，腿共有104条，说明兔子数多了，应减少兔子数，最终找出问题的结果。以上思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将陌生的或不易解决的问题，转化为我们熟悉的，或已经解决的、容易解决的问题，从而最终把数学问题解决的思想方法.

二、画图添数法；画图添数的方法是一种比较形象的方法。可以用“○”表示头，接着假设全部是腿数少的动物，并在圆圈下面画上腿，最后，把剩余的腿逐一添上，就会很快发现它们各自的数量。

我们可以用“○”表示头，先画35个圆圈表示35个头，用“一”表示一条腿，先把它们全部看作是腿较少的动物，也就是全部画成鸡。35只动物用完70条腿，还多出24条腿，把剩余的24条腿用完，要给其中12只动物各添2条腿。这12只就是兔子，另外的23只是鸡。

○  ○  ○  ○…先画35个圆圈表示35个头。

○  ○  ○  ○ …再为每个动物画两条腿，35只动物只用完

∕﹨∕﹨∕﹨∕﹨…70条腿，还多出24条腿。

○  ○  ○  ○…把剩余的24条腿用完，要给其中12只动

∥∥∥∥∥∥∥∥…物再添2条腿，这12只就是兔子，另外的23只是鸡。此数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

三、假设法：假设笼中全是鸡或全是兔子，然后算出腿的条数，并与实际相比较。假设全是鸡时，腿的条数比实际少，原因是把四条腿的兔子当成两条腿的鸡算了；假设全是兔子，腿的条数比实际多，原因是把两条腿的鸡当成四条腿的兔子算了，最后根据剩余或超出腿的数量，求出鸡，兔各自的数量。

（1）假设笼中全是鸡。很显然腿有2×35＝70（条）与实际腿有94条相比少了94－70＝24（条），怎么会比实际少24条腿呢？原来我们把四条腿的兔子当做两条腿的鸡了。一只兔子当做一只鸡来算，就会比实际少4－2＝2（条）腿。那么24条腿中有多少个2，就有多少只兔子。这样就可以求出兔子的只数，可列式：（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡的只数有35－12＝23（只）

（2）假设笼中全是兔子。腿共有4×35＝140（条）与实际腿94条相比较多了140－94＝46（条）。这是因为把两条腿的鸡当做四条腿的兔子算了。一只鸡当一只兔子来算，就会比实际多4－2＝2（条）腿。那么46条腿中有多少个2，就有多少只鸡。这样可求出鸡的只数。可列式为：（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）。兔子的只数有35－23＝12（只）。假设方法使学生直观地把握了假设过程中的道理，感受到假设策略的在解决问题中的价值，从而能自觉地接受假设的策略。

四、方程解答法：根据题意，设鸡或兔子为未知数，然后根据相等关系式：“鸡腿的条数＋兔子腿的条数＝总条数”列出方程：我们把题目中的鸡设为ⅹ只，那么兔子就有（35－ⅹ）只，根据题意，列出方程：2ⅹ＋4×（35－ⅹ）＝94  2ⅹ＋140－4ⅹ＝94  2ⅹ＝46 ⅹ＝23 兔子有35－23＝12（只）；也可以设兔子有ⅹ只，那么鸡就有（35－ⅹ）只，根据同意的数量关系列出方程：4ⅹ＋2×（35－ⅹ）＝94  4ⅹ＋70－2ⅹ＝94  2ⅹ＝24  ⅹ＝12 鸡有：35－12＝23（只）。方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，是研究数量关系的重要工具.我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得解的思想方法称为方程思想.方程思想在实际问题、代数和几何中都有着广泛的应用.

   到这里已经给出了四种方法，那你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数，即：47－35=12（只）；鸡的数量就是：35－12=23（只）。

我想数学：1要让学生经历解决问题的完整过程，寻找有效的、合适的解决问题的策略。解决问题策略的获得过程实际上是学生经历解题过程中的感悟过程。

2数学问题的研究方式要顺应学生的思维特点，激发学生主动探索的欲望，给学生以自由思考、自由表达的空间，这样学生的思维才能活起来。

3．不仅仅是要使学生认识策略的存在，也要让学生能运用策略合理有效地解决问题。

4．要引导学生关注问题特点，能根据问题特点选取合适的解题策略。解决问题的策略很多，有些是侧重于解决问题的方式的，有些是侧重于解决问题的思维方法的。而且，不同的策略有其适合使用的不同问题。因此，我认为引导学生关注问题特点，帮助学生能根据问题特点选取合适的解题策略也是有必要的。同时，要沟通各种策略，让学生感受到解决问题的策略是多样的、灵活的，不是贴标签的，解决问题需要灵活运用各种策略。引导学生既感受到用假设的策略可以解决什么样的问题，又让学生感受到解决同一个问题有不同的策略。

总之数学的学习，对学生来说，能使起终身受用的，绝不仅仅是知识，数学思想方法获得是更重要的。我想这也许是学习数学目的所在吧。